Расширения $C^*$-алгебр и BDF-теория

Как хорошо известно, любой самосопряжённый и даже нормальный оператор $T$ в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве представляется в виде суммы $D+K$, где $D$ —диагонализируемый и $K$ — компактный операторы. Естественно поставить вопрос об описании всех операторов вида $D+K$. Легко видеть, что любой оператор $T=D+K$ является существенно нормальным, а именно, оператор $T^* T-TT^*$ является компактным (или, другими словами, образ $T$ будет нормальным в алгебре Калкина), однако не каждый существенно нормальный оператор представляется в виде суммы компактного и диагонализируемого оператора. Критерий для возможности такого представления использует понятие фредгольмова индекса оператора и был впервые дан Брауном, Дугласом и Филлмором. Их доказательство замечательно тем, что привнесло топологические и гомологические методы в теорию операторов. Я собираюсь поподробнее рассказать о всём круге вопросов, связанных с существенно нормальными операторами, и дать представление об идеях, лежащих в основе BDF-теории.