Геометрия диофантовых приближений

Хорошо известно, что многие задачи теории одномерных диофантовых приближений могут быть решены с помощью непрерывных дробей. Естественного же многомерного обобщения аппарата непрерывных дробей для нужд многомерных диофантовых приближений придумать не удается. В какой-то мере это связано с новыми геометрическими феноменами, возникающими в многомерной теории. Один из них — явление вырождения размерности наилучших диофантовых приближений, открытое автором в 1996–1997 годах и восходящее к работам А. Я. Хинчина, Г. Давенпорта и В. Шмидта. С другой стороны, некоторые многомерные задачи поддаются (в какой-то мере) решению теми же методами, что и одномерные задачи. Таковыми являются, например, некоторые вопросы, связанные с существованием плохо приближаемых чисел.
В докладе предполагается коснуться классических задач такого рода, решение которых может быть получено (а иногда и действительно получается) стандартными методами геометрии чисел, а также рассказать о ряде задач метрической теории чисел, которые оказались решенными благодаря развитию автором недавно возникшего в работах Ю. Переса и В. Шлага (2001–2007) нового вероятностного метода, очень простого и изящного. В частности, автору удалось получить результат о существовании плохо приближаемых чисел в так называемой BAD-гипотезе, связанной со знаменитой проблемой Литтлвуда. Подходы, связанные с геометрией многомерных диофантовых приближений оказываются полезными в некоторых вопросах равномерного распределения последовательностей и теории динамических систем. Так, с помощью анализа наилучших диофантовых приближений автор в 1996–1997 г. решил задачу В. В. Козлова об осцилляции интеграла условно периодической функции, о чем тоже будет рассказано в докладе.