CR-кривизна Леви-вырожденных многообразий

Мы рассматриваем класс ${\mathcal C}_{2,1}$ $5$-мерных $2$-невырожденных CR-многообразий типа гиперповерхности с формой Леви ранга $1$ во всех точках. CR-структуры многообразий этого класса сводятся к абсолютным параллелизмам со значениями в алгебре Ли ${\mathfrak{so}}(2,3)$, и можно рассмотреть соответствующую ${\mathfrak{so}}(2,3)$-значную форму CR-кривизны. Мы изучаем уравнения нулевой CR-кривизны для трубчатых и жестких гиперповерхностей в ${\mathbb C}^3$ класса ${\mathcal C}_{2,1}$. Оказывается, что, несмотря на то, что число компонент формы CR-кривизны равно $10=\dim{\mathfrak{so}}(2,3)$, в трубчатом случае эти уравнения эквивалентны одному классическому уравнению Монжа, и локально задача описания CR-плоских трубчатых гиперповерхностей с точностью до аффинной эквивалентности описывается замечательной системой уравнений, состоящей из уравнения Монжа и $2$-мерного вещественного однородного уравнения Монжа–Ампера. Эта система двух уравнений явно решается, что приводит к следующему результату: любая CR-плоская трубчатая гиперповерхность класса ${\mathcal C}_{2,1}$ в ${\mathbb C}^3$ аффинно эквивалентна открытому подмножеству трубы над конусом будущего в ${\mathbb R}^3$. Далее, случай жестких гиперповерхностей приводит к системе уравнений, состоящей из уравнения Монжа по отношению к одной из переменных и $2$-мерного комплексного однородного уравнения Монжа–Ампера. Мы приведем решение этой системы при дополнительных предположениях с точностью до так называемой жесткой эквивалентности. Ответ содержит функции, дающие уравнения, отличные от канонического уравнения трубы над конусом будущего.