Инварианты слоения 4-особенностей интегрируемых гамильтоновых систем и их 3-границ

Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему с 2-мя степенями свободы. Она определяется двумя независимыми функциями в инволюции на симплектическом многообразии (M^4,omega). Отображение M^4 \to R^2 называется отображением момента. Отображение момента порождает слоение на прообразе окрестности особого значения ранга нуль, называемое 4-мерной особенностью. Главный вопрос, который будет обсуждаться на докладе – это вопрос о связях между 4-особенностью (со слоением) и ее 3-мерной границей. А.Т.Фоменко была выдвинута гипотеза: если все особые точки отображения момента на 4-особенности невырождены, то слоение границы 4-особенности полностью с точностью до послойного гомеоморфизма (Лиувиллевой эквивалентности) задает слоение 4-особенности. В случае, когда 4-особенность имеет тип центр-центр, центр-седло и фокус-фокус гипотеза выполнена. В случае, когда 4-особенность имеет тип седло-седло (все ее невырожденные особые точки ранга нуль имеют тип седло-седло) к гипотезе А. Т. Фоменко был построен контрпример в дипломной работе 2002 года А. В. Грабежного. Были построены три Лиувиллево неэквивалентные 4-особенности, с одинаковым слоением границ. В данном докладе будет расширен пример А. В. Грабежного: будет приведена бесконечная серия пар 4-особенностей, у которых совпадают (в каждой паре) слоения границ. Вопрос о связи 3-границы с ее 4-особенностью в случае седло-седло остается открытым. Одним из подходов, к решению этой задачи является рассмотрение расщепления 4-особенностей и их границ. В данном докладе будет представлена теорема о классификации расщепленных особенностей типа седло-седло сложности два, будут приведены примеры динамических систем, в которых эти особенности встречаются, а также представлены методы быстрого вычисления инвариантов Фоменко-Цишанга (круговых молекул) для границ 4-особенностей. В докладе будет кратко изложена теория инвариантов Фоменко–Цишанга.