Гиперэллиптические сигма-функции и анализ функций многих комплексных переменных

Проблема построения гиперэллиптических аналогов эллиптической сигма функции Вейерштрасса была поставлена Ф. Клейном. Важные результаты в этом направлении были получены А. Бейкером. В своём последнем обзоре Ф. Клейн подчеркнул, что она ещё далека от полного решения.
Начиная с 70-х годов прошлого века к теории абелевых функций на якобианах гиперэллиптических кривых было привлечено большое внимание в связи с алгебро-геометрическим подходом к теории солитонов и теории интегрируемых систем. В основу этой теории в работах С.П. Новикова, Д. Мамфорда и их школ, а также большого числа других исследователей была положена теория тэта-функций Римана.
Начиная с середины 90-х годов прошлого века в работах Бухштабера, Энольского и Лейкина было завершено построение основ теории гиперэллиптических сигма-функций и развиты методы их приложений в задачах теории интегрируемых систем и математической физики.
Тэта-функции Римана гиперэллиптических кривых разлагаются в ряды с коэффициентами, которые являются функциями периодов голоморфных дифференциалов на этих кривых. В программе Ф. Клейна принципиально важным было построение гиперэллиптических сигма-функций в виде рядов, коэффициенты которых являются полиномами от параметров кривых.
Согласно теореме Дубровина–Новикова универсальное расслоение якобианов неособых гипереллиптических кривых рода $g$ бирационально эквивалентно комплексному линейному пространству $\mathbb{C}^{3g}$.
В центре внимания в докладе будет функция на $\mathbb{C}^{3g}$, ограничение которой на якобиан любой неособой гиперэллитической кривой рода $g$ представляет собой сигма-функцию этой кривой. Мы обсудим систему из $2g-1$ уравнения теплопроводности в неголономном репере на $\mathbb{C}^{3g}$, которая однозначно определяет обсуждаемую функцию.