Однородные гиперповерхности в ${\mathbb C}^3$

Мы рассматриваем семейство $M_t^n$, где $n\ge 2$, $t>1$, вещественных гиперповерхностей в комплексной аффинной $n$-мерной квадрике, возникающее в связи с классификацией Моримото–Нагано однородных компактных односвязных вещественно-аналитических гиперповерхностей в ${\mathbb C}^n$. Чтобы завершить их классификацию, необходимо решить задачу о вложимости $M_t^n$ в ${\mathbb C}^n$ для $n=3,7$. Нетрудно показать, что $M_t^7$ не вкладывается в ${\mathbb C}^7$ для любого $t$. Кроме того, мы докажем, что $M_t^3$ вкладывается в ${\mathbb C}^3$ для всех $1<t<\sqrt{(2+\sqrt{2})/3}$. Этот результат получается из анализа явного вполне вещественного вложения сферы $S^3$ в ${\mathbb C}^3$, построенного Ахерном (Ahern) и Рудиным. Для $t\ge\sqrt{(2+\sqrt{2})/3}$ задача о вложимости $M_t^3$ остается открытой.