Гладкие неавтономные нормализации для последовательности сжимающих отображений

Рассматривается бесконечная в обе стороны последовательность (каскад) сжимающих $C^{N}$-отображений $T_{i}:~U\longrightarrow R^{n},~i\in Z$, некоторой окрестности $U\subset R^{n}$ общей неподвижной точки $0\subset R^{n}$. Предполагаются: 1) выполнение некоторых условий "согласования" и "равномерности" для линейных частей $J_{i}=dT_{i}(0)$ этих отображений в неподвижной точке; 2) достаточно высокая гладкость отображений (нижняя граница для $N$ определяется условиями, наложенными выше на $J_{i}$); 3) равномерная ограниченность отображений $T_{i}$ в $C^{N}$-норме.
При указанных условиях построен неавтономный аналог (частичной) нормализации класса $C^{N}$, который обобщает и улучшает недавнюю конструкцию М. Гайсинского и А. Катка (Math. Res. Letters, 1998, vol. 5, no. 1–2, pp. 149–163). Предложенный подход является существенно геометрическим и основан, в частности, на применении стандартных средств гиперболический теории к отображениям банаховых функциональных пространств. В качестве отправной точки служит классический результат Ш. Стернберга (Amer. J. Math., 1957, vol. 79, no. 4, pp. 809–824) о гладкой нормализации гладкого сжимающего отображения.