Хаpактеpизация точек пеpеключения экстpемальных упpавлений для одного класса нелинейных гладких упpавляемых систем: ваpиационный подход

Доклад посвящен характеризации точек переключения экстремального управления для двухточечной задачи быстродействия, ассоциированной с гладкой управляемой системой
$$\dot{x}=f(x,u),~x\in M,~u\in U,$$

где $M$ — гладкое $n$-мерное многообразие, регулярно вложенное в евклидово пространство $R^{n}$, $U$ — выпуклый многогранник в $R^{n}$, а $f(\cdot,u),~u\in U,$ — семейство гладких векторных полей на $M$, гладко зависящих от параметра $u\in U$, таких, что для любого ребра $\Gamma\in U$ существует гладкая функция $a_{\Gamma}:~M\times U\times R^{m}$ такая, что для любых $v\in R^{m},~x\in M$ и любого ненулевого касательного вектора $w$ к относительной внутренности ребра $\Gamma$ выполнено условие
$$\frac{\partial^{2}f(x,u)}{\partial u^{2}}(v,w)=a_{\Gamma}(x,u,v)\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}w.$$

А именно, с помощью вариационных методов устанавливается, что если $\tilde{t}\in (0,T)$ — точка переключения экстремального управления $u(t),~0\leq t\leq T$, то существует точка $\tilde{u}\in U$ и ребро $\Gamma\subset U$ такие, что
$$\psi (\tilde{t})\frac{\partial f(x(\tilde{t}),\tilde{u})}{\partial u}w=0,$$

где $w$ — ненулевой касательный вектор к относительной внутренности ребра $\Gamma$, а $x(t),~0\leq t\leq T$, и $\psi(t),~0\leq t\leq T$, — траектория гладкой управляемой системы и решение сопряженной системы (из принципа максимума Понтрягина), соответственно. При этом, множество нулей функции
$$s_{u}^{\Gamma}(t)=\psi(t)\frac{\partial f(x(t),\tilde{u})}{\partial u}=0,~0\leq t\leq T,$$

называемой функцией переключений, соответствующей $\Gamma$, не зависит от выбора $\tilde{u}\in U$. Множество нулей всех таких функций содержит все точки переключения экстремального управления $u(t),~0\leq t\leq T$.
Результат обобщается на более общие объекты, чем многогранники, а именно, на случай, когда $U$ — так называемое многообразие с углами, понятие которого было введено автором и А. А. Аграчевым в связи с разработкой теории типа Морса и Люстерника-Шнирельмана для задач оптимального управления.
Изложенные результаты будут опубликованы (на английском языке) в журнале Journal of Mathematical Sciences.