Теория пересечений на пространствах модулей комплексных кривых

Имеется большое количество задач в современной алгебраической геометрии и математической физике, решение которых сводится к изучению геометрии и топологии пространств модулей различных структур (многообразий, расслоений, отображений и т.п.). В своей гипотезе 1981 г. Виттен предсказал некоторые числа пересечений на (компактифицированном) пространстве модулей комплексных кривых с отмеченными точками. Несмотря на простоту формулировки, доказательство гипотезы потребовало применения довольно развитого математического аппарата. В настоящее время известно несколько доказательств гипотезы Виттена, и доклад посвящен обзору этих доказательств. Оставляя за рамками доклада вывод собственно утверждения гипотезы, я хочу обсудить геометрические методы, предоставляющие алгоритмы вычисления необходимых чисел пересечений:
- комбинаторная полиэдральная модель пространства модулей (Концевич);
- гиперболическая геометрия и вычисление объема Вейля–Петерсона пространства модулей (Мирзахани);
- ELSV формула и асимптотика чисел Гурвица разветвленных накрытий сферы (Окуньков–Пандарипанде и Ким-Лиу);
- прямое обращение ELSV формулы (Казарян–Ландо);
- топологическая рекурсия для пространств Гурвица (Шадрин).
Все приведенные подходы используют совершенно разный математический аппарат, между ними не видно никакой прямой связи, и хотя они направлены на вычисление одних и тех же чисел, совпадение ответов, полученных разными способами, поистине удивительно.