Выбросы гауссовских полей: теоремы сравнения, геометрические вероятности и эйлеровы характеристики

Линии высокого уровня траекторий гауссовского гладкого однородного случайного поля могут быть с большой точностью аппроксимированы случайным пуассоновским полем эллипсоидов. При этом в фиксированный объем с доминирующей вероятностью попадает не более одного такого эллипсоида. Формализацию этого утверждения дала теорема сравнения, обнаружившая неожиданно высокую близость вероятностей выбросов двух гауссовских полей за высокий уровень, рассматриваемых в соответствующей фазово-временной шкале. Этот результат дал возможность применить методы геометрических вероятностей (в частности, теорему Хадвигера) к получению асимптотических разложений для вероятностей высоких выбросов на выпуклых множествах в терминах функционалов Минковского и полиномов Эрмита.
Впоследствии этот результат был получен путем прямого вычисления статистических моментов эйлеровых характеристик линий уровня. Это дает дополнительную информацию о геометрии линий высокого уровн траекторий гауссовского случайного поля.
В докладе будут даны определения и формулировки используемых результатов, исторический обзор, а также объяснены методы и идеи доказательств вышеупомянутых утверждений.