Оптимальные ляпуновские метрики гомеоморфизмов, обладающих гиперболической структурой

Пусть $f:X\to X$ — гомеоморфизм компактного метрического пространства $X$ с метрикой $\rho(\cdot,\!\cdot)$, локальные (радиуса $\delta$) устойчивое $W_\delta^s(x)$ и неустойчивое $W_\delta^u(x)$ “многообразия” точки $x\in X$ определяются как
$$ W_\delta^s(x)=\bigl\{y:\,\rho(f^nx,f^ny)\le\delta,\, n\ge0\bigr\},\,\, W_\delta^u(x)=\bigl\{y:\,\rho(f^nx,f^ny)\le\delta,\, n\le0\bigr\}. $$

Определение. Гомеоморфизм $f$ обладает гиперболической структурой (ГС), а метрика $\rho$ называется гиперболической, если существуют такие $\delta>0$, $c\ge 1$ и $0<\lambda<1$, что
$$ y\in W_\delta^s(x)\,\,\bigl(y\in W_\delta^u(x)\bigr)\Rightarrow \rho(f^nx,f^ny)\le c\lambda^{|n|}\rho(x,y)\eqno (1) $$
при $n\ge0$ ($n\le0$). Метрика называется ляпуновской, если при этом $c=1$.
Пусть $\Lambda_s$ и $\Lambda_u$ есть точные нижние гранями для констант $\lambda$ таких, что при подходящих $c\ge 1$ выполнены неравенства (1), относящиеся, соответственно, к устойчивым и неустойчивым многообразиям. Константы $\Lambda_s$ и $\Lambda_u$ не изменятся при выборе меньшего радиуса $\delta$ локальных многообразий.
К. Сакаи доказал (Sakai K. Topology and Appl. 1995. V. 63, no. 3. P. 263–266; 2001. V. 112, no. 3. P. 229–243), что у гомеоморфизма $f$, обладающего ГС, имеется ляпуновская метрика, эквивалентная исходной (т.е. определяющая ту же топологию), причем эту метрику можно выбрать так, что оба отображения $f$ и $f^{-1}$ будут липшицевыми относительно нее. Следующая теорема утверждает существование оптимальных ляпуновских метрик.
Теорема. Пусть гомеоморфизм $f$ обладает ГС и $\lambda_s\in[\Lambda_s,1)$, $\lambda_u\in[\Lambda_u,1)$. Тогда ляпуновскую метрику $\rho_0$ можно выбрать так, что $\rho_0(fx,fy)/\rho_0(x,y)\to\lambda_s$ (и, соответственно, $\rho_0(f^{-1}x,f^{-1}y)/\rho_0(x,y)\to\lambda_u$) равномерно по всем $x,y$ таким, что $y\in W_\delta^s(x)$ (соответственно, $y\in W_\delta^u(x)$) при $\rho_0(x,y)\to 0$ или, что равносильно, при $\rho(x,y)\to 0$. Более того, отображение $f$ (соответственно, $f^{-1}$) будет липшицевым относительно $\rho_0$ с постоянной $\lambda_u^{-1}$ (соответственно, $\lambda_s^{-1}$), если $\lambda_u>0$ ($\lambda_s>0$).
В случае, когда гомеоморфизм $f$ дополнительно обладает локальной структурой произведения, т.е. удовлетворяет аксиоме \axA(см. Алексеев В.М. Символическая динамика // Одиннадцатая матем. школа. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1976. 210 с.) метрика $\rho_0$ в малых масштабах приблизительно представляется как прямая сумма метрик, соответствующих каноническим координатам, а малые участки “многообразий” $W_\delta^\sigma(x)$, $\sigma=u,s$ (рассмотренные при надлежащем увеличении) приблизительно являются в некотором смысле “плоскими” подмножествами в $X$.