Статистика чисел Фробениуса аддитивных полугрупп и геометрия цепных дробей

Числом Фробениуса $N(a, b, \dots, c)$ положительных целых чисел $a, b, \dots $ (в количестве $n$ штук) называется наименьшее целое число, представимое, как и все бо́льшие его числа, в виде суммы слагаемых вида $a, b, \dots $ (с неотрицательными целыми кратностями). Мы предполагаем, что наибольший общий делитель чисел $a, \dots, c$ есть 1. Сильвестр доказал, что $N(a,b) = (a - 1)(b - 1)$. Но уже для $N(a, b, c)$ общей формулы нет.
В докладе будет обсуждаться рост числа Фробениуса $N$ с ростом суммы $S$ всех $n$ аргументов $(a, b, \dots, c)$. Несколько лет назад я доказал, что
$$ \mathrm{const}S^u\le N\le S^2, $$
где $u=1+\frac{1}{(n-1)}$ (для трех аргументов $\mathrm{const}S^{3/2}\le N\le S^2$).
Соображения автомодельности для этой арифметической турбулентности привела меня к гипотезе (опубликованной в 1999 году), что в среднем (по симплексу $a+\dots+c=S$) число Фробениуса растет как $S^u$.
Проведенные по моей просьбе в Силиконовой Долине компьютерные эксперименты подтвердили средний рост порядка $S^{3/2}$ для $a + b + c = 41$, 97 и 199.
Упомянутые экспериментальные данные были вычислены при помощи неожиданной связи чисел Фробениуса с геометрией цепных дробей (обычных при $n = 3$ и многомерных при бо́льшем числе аргументов). Об этой связи также будет рассказано в докладе (хотя описанное выше поведение средних остается не доказанной теоремой, а лишь подтвержденной миллионами примеров гипотезой физического характера).
Некоторые ослабленные варианты моих гипотез о числах Фробениуса недавно доказал Я. Г. Синай, но он сообщил мне, что сами мои исходные гипотезы «слишком трудны».