Пространства модулей монополей и квантовые группы

В докладе будет рассказано о новом классе бесконечномерных представлений квантовой группы (янгиана) $Y(g)$, введенной Дринфельдом для комплексной полупростой алгебры Ли $g$. Конструкция таких представлений возникает при обобщении реализации янгиана в терминах квантовых миноров, предложенной Дринфельдом для $g=sl(N)$, на случай произвольной полупростой алгебры.
Особый интерес представляет изучение симплектической геометрии на орбитах янгиана. В частности, в докладе будет объяснено, что соответствующие симплектические листы янгиана естественным образом отождествляются с открытой частью пространства модулей $G$-монополей с $G=Lie(g)$, реализованного как пространство модулей голоморфных отображений рациональной кривой в обобщенное пространство флагов $G/B$ группы $G$.
Как известно (Атья, Мюррей, Дональдсон, Хитчин, Ярвис и др.), пространство модулей $G$-монополей отождествляется с пространством модулей голоморфных отображений рациональной кривой в $G/B$. Симплектическая структура на пространстве модулей $G$-монополей изучалась в работах Атьи–Хитчина, Белявского и Финкельберга–Кузнецова–Маркаряна–Мирковича. В докладе будет показано, что янгиан, как группа Пуассона–Ли, индуцирует на своих орбитах симплектическую структуру, эквивалентную ранее известной. Таким образом, предложенная констркуция дает полное описание скрытых симметрий симплектической структуры на пространстве модулей $G$-монополей, а построенные представления квантовой группы (янгиана) являются квантованием пространства модулей $G$-монополей в смысле Дринфельда.
Предложенный класс представлений янгиана допускает ряд естественных обобщений. В частности, аналогичные классы представлений построены в случае конечномерных квантовых групп $U_q(g)$, а также для квантовых аффинных алгебр $U_q(\hat{g})_{c=0}$.