Асимптотическое поведение спектральной меры семейства операторов $y''-\varepsilon xy$

В докладе дается обзор некоторых результатов об асимптотическом поведении спектральной меры и ее производной оператора Штурма–Лиувилля на полуоси в случае потенциалов специального вида. Приведены общие теоремы Б. М. Левитана и В. А. Марченко об оценках спектральной функции на бесконечности.
Самый простой случай был исследован Э. Ч. Титчмаршем. Им получены явные формулы для производной спектральной функции. На семинаре по спектральной теории В. А. Садовничим была высказана гипотеза о слабой сходимости некоторого семейства обобщенных функций $r_a(L,\varepsilon,Q)$ к производной спектральной меры невозмущенного оператора $-y''$, где $Q(x)=-x$ при $\varepsilon$ устремленном к $0$. А. С. Печенцову и А. Ю. Попову удалось доказать эту гипотезу и детально исследовать поведение спектральной меры на всей действительной оси. В докладе приведены основные теоремы и идеи доказательства.