О траекториях, уходящих на бесконечность, для динамических систем на плоскости

В докладе затрагиваются вопросы существования и единственности траекторий динамических систем на плоскости (а в некоторых случаях и в трехмерном фазовом пространстве), имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки. Таким образом, на сферах Римана или Пуанкаре предельными множествами данных траекторий будет северный полюс. Такие траектории уже по определению являются ключевыми, поскольку бесконечно удаленная точка всегда является особой.
Если рассмотреть произвольную автономную систему дифференциальных уравнений на плоскости, то можно сопоставить данной системе уравнение, фазовые траектории которого параметризованы по-другому, а также последние отображены с расширенной фазовой плоскости системы на сферу Римана (или Пуанкаре). При этом бесконечно удаленные точки перейдут в северный полюс сферы.
Количество траекторий, уходящих на бесконечность, определяется через топологический тип бесконечно удаленной особой точки. В частности, в некоторых системах может существовать единственная траектория, уходящая на бесконечность, поскольку бесконечно удаленная точка является седлом (если, конечно, отображать не плоскость, а фазовый цилиндр). Рассматривается также случай, когда могут существовать фазовые траектории, уходящие на бесконечность на фазовой плоскости, вдоль которых обе фазовые переменные неограниченно возрастают. В этом случае, исследуя топологический тип северного полюса сферы, можно попытаться доказать существование и единственность траекторий, приближающихся к прямым, угловой коэффициент которой конечен и не равен нулю.