Задачи устойчивости течений с нелинейными определяющими соотношениями

Изучается устойчивость процессов деформирования материалов с определяющими соотношениями, связывающими напряжения и скорости деформаций, которые описываются изотропными, вообще говоря, тензорно нелинейными функциями. Приводятся необходимые сведения из аппарата тензорных функций, включая взаимосвязи инвариантов, условия потенциальности, случаи квазилинейности, а также устанавливается соответствие с терминологией сред, принятой в механике сплошной среды (речь идёт о вязкопластических, идеальножёсткопластических средах, нелинейно-вязких и ньютоновских жидкостях).
Формулируется линеаризованная задача устойчивости относительно возмущений скоростей и давления, в которой участвуют полученные после линеаризации определяющие соотношения. В качестве граничных условий могут быть выбраны не только традиционные условия прилипания, но и статические условия, а также условия на свободной поверхности.
Для анализа данной задачи устойчивости аналитически развивается метод интегральных соотношений, позволяющий получать достаточные оценки устойчивости в энергетических пространствах $L_2$ или $H_2$, т.е. нижние оценки критических параметров. Доказываются основные теоремы устойчивости, относящиеся к нестационарному и, как частный и весьма важный случай, стационарному основному течению. В случае стационарности задача устойчивости сводится к спектральной проблеме и анализу поведения на комплексной плоскости спектрального параметра.
Для сдвиговых основных течений доказывается обобщённая теорема Сквайра, налагающая условия, при которых картину возмущений достаточно выбирать только в плоскости сдвига.
В качестве иллюстрирующих примеров приводится анализ с помощью метода интегральных соотношений классического уравнения Орра–Зоммерфельда с различными граничными условиями, а также обобщённого уравнения Орра–Зоммерфельда, описывающего сдвиговую устойчивость вязкопластического материала (модель Шведова–Бингама). В последнем случае делается вывод о стабилизирующем влиянии пластической составляющей по отношению к чисто вязкому течению.