Моделирование деформирования тонких призматических тел с применением системы полиномов Лежандра

Рассмотрены некоторые вопросы о параметризации области тонкого тела с одним малым размером, когда в качестве базовой поверхности рассматривается произвольная поверхность.
Дано определение момента $k$-го порядка некоторой величины относительно системы полиномов Лежандра. Получены уравнения движения микрополярной теории тонких призматических тел для компонент векторов перемещения и вращения в моментах относительно систем полиномов Лежандра с учетом граничных условий как кинематического, так и физического содержания на лицевых поверхностях. Выведена система уравнений микрополярной теории тонких призматических тел для компонент этих векторов в моментах относительно системы полиномов Лежандра в случае неоднородной относительно координат базовой поверхности среды переменной толщины.
Рассмотрена пластина бесконечной длины в направлении одной оси ($Ox_2$), защемленная по параллельным (продольным) этой оси краям и нагруженная постоянной в направлении этой оси поперечной нагрузкой. Вдоль другой оси ($Ox_1$) нагрузка может меняться произвольно. Построены графики зависимости компонент вектора перемещения и компонент тензора напряжений от $x_1$ при различных значениях поперечной координаты $x_3$ и нагрузках. С помощью корректирующего слагаемого удовлетворены граничные условия на лицевых поверхностях. В случае моментной теории пластин получены системы уравнений нулевого, первого и второго приближений, которые приведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, каждая из которых расщепляется на две независимые системы, и получены общие решения этих систем.
Получено общее дисперсионное уравнение для определения скоростей распространения волн бесконечной в анизотропной среде. Выведены дисперсионные уравнения в главных направлениях трансверсально-изотропных и ортотропных микрополярных сред. Получены скорости распространения упругих волн по главным направлениям в трансверсально-изотропной и ортотропной микрополярных средах.
Выписано данное И. Н. Векуа общее решение эллиптических уравнений $2n$-го порядка с помощью $n$ аналитических функций, а также, как частный случай, представление решения эллиптического уравнения четвертого порядка. В работе методом разделения переменных Фурье гиперболические уравнения четвертого и шестого порядков приведены к уравнениям эллиптического типа тех же порядков и используя метод И. Н. Векуа, получены общие представления решения этих уравнений.