Основы теории Зиглина (неинтегрируемость динамических систем и группы монодромии уравнений в вариациях)

Доклад ориентирован на неподготовленных слушателей и поэтому носит характер вводной лекции.
Обсуждаются основные идеи и результаты развитой С. Л. Зиглиным теории, которая даёт достаточные условия несуществования дополнительных первых интегралов динамических систем, в терминах свойств нормального уравнения в вариациях (НУВ) вдоль известного частного решения исходной системы (ИС).
Затрагиваются следующие понятия и результаты: построение однородного полиномиального (соответственно, рационального) первого интеграла НУВ исходя из аналитического (соответственно, мероморфного) первого интеграла ИС; лемма о том, что наличие k функционально независимых мероморфных первых интегралов ИС влечёт существование k функционально (и, что равносильно, алгебраически) независимых рациональных первых интегралов НУВ; группа монодромии НУВ и связь интегрируемости ИС с наличием рациональных первых интегралов группы монодромии; необходимые условия полной интегрируемости гамильтоновой ИС в терминах коммутационных свойств двух элементов группы монодромии, один из которых нерезонансен; вариант этого результата для систем с двумя степенями свободы и его перенесение на случай недиагонализируемого элемента (Yoshida H., Ramani A., Grammaticos B., Hietarinta J., 1987).