Задача на Стохастические диффузионные модели в газовой динамике

Точность и эффективность вычислительных алгоритмов газовой динамики могут быть улучшены с помощью построения иерархии математических моделей, основанных на микро-макро представлениях.
В основу обычно кладут уравнение Больцмана, в безразмерном виде которого перед интегралом столкновений стоит множитель $1/Kn$, где параметр обезразмеривания $Kn$ (число Кнудсена), зависит от пространственной переменной $x$. При современных высоких требованиях к качеству вычислительных технологий вся область, в которой производится расчет, разбивается на подобласти, обладающие разными свойствами. Если $Kn$ — порядка единицы, то это — подобласть, требующая использования уравнения Больцмана. В тех областях, где $Kn$ умеренно мал, можно воспользоваться уравнением Колмогорова–Фоккера–Планка, коэффициенты в котором определяются столкновительной моделью и при некоторых упрощающих предположениях могут быть вычислены в явном виде. Это — нелинейное уравнение относительно семимерной функции распределения в фазовом пространстве, как и уравнение Больцмана, но с более простой структурой: вместо интеграла столкновений стоит оператор переноса с диффузией в пространстве скоростей, который можно называть модельным интегралом столкновений.
В диапазоне умеренных чисел $Kn$ можно получить и макроскопическое описание — уравнения стохастической квазигазодинамики, связанные с уравнением Колмогорова–Фоккера–Планка через полученные с помощью пространственно-временного усреднения коэффициенты. Для очень малых $Kn$ эти уравнения примыкают к уравнениям Навье–Стокса.
Описанный на языке детерминистических уравнений микро-макро мостик строится с помощью теории случайных процессов, исходя из системы стохастических дифференциальных уравнений, описывающих газ при умеренных и малых числах Кнудсена. При этом получается набор стохастических моделей, порождающий целый ряд методов Монте-Карло, перспективных с точки зрения супер-вычислений, благодаря их естественной параллелизации. Наш подход отличается от других способов построения квазигазодинамических уравнений иными гипотезами, благодаря которым и получается более простое, по сравнению с кинетическим, описание газовой среды.
1. Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем. – М.: Наука, 1983.
2. Арсеньев А.А. Лекции о кинетических уравнениях. – М.: Наука, 1992.
3. Богомолов С.В. Об одном подходе к получению стохастических моделей газодинамики // ДАН, 2008, т. 423, № 4, с. 458.
4. Богомолов С.В. Уравнения квазигазодинамики // Математическое моделирование, 2009, т. 21, № 12, с. 145–151.