Продольные колебания стержней с переменными параметрами

Рассматривается задача о продольных колебаниях неоднородного стержня с переменным поперечным сечением (исходная задача). Процесс колебаний описывается гиперболическим дифференциальным уравнением второго порядка с коэффициентами, зависящими от координаты. В том случае, когда коэффициенты разрывны уравнение понимается в обобщенном смысле. Наряду с исходной задачей рассматривается сопутствующая задача — задача для стержня с постоянными параметрами (модуль Юнга, плотность, поперечное сечение) и с такими же входными данными, как и в исходной задаче. Решение сопутствующей задачи гораздо проще, чем решение исходной задачи и во многих случаях удаётся получить её точное аналитическое решение. Для решения исходной задачи получено интегральное представление через решение сопутствующей задачи и функцию Грина исходной задачи. В случае гладкого решения сопутствующей задачи из интегрального соотношения вытекает представление решения исходной задачи в виде ряда по координатным и временным производным от решения сопутствующей задачи. При этом коэффициенты при производных зависят только от координаты, и они являются взвешенными моментами от функции Грина по одной из двух координатных переменных. Для этих коэффициентов построена система рекуррентных обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробно рассмотрен частный случай общей динамической задачи — задача об определении собственных частот продольных колебаний стержня с переменными параметрами. Получены точные частотные уравнения для различных случаев закрепления концов стержня. Проведено сопоставление известных решений при частных случаях зависимости коэффициентов исходного уравнения от координаты с общими решениями, полученными по методу, предложенному в работе.