Комбинаторный подход к проблеме реализации циклов

Проблема реализации классов гомологий топологических пространств образами гладких многообразий восходит ещё к работам А. Пуанкаре, была чётко сформулирована Н. Стинродом в конце 1940-х годов и известна под названием проблемы реализации циклов. Классические результаты по этой задаче были получены Р. Томом в 1954 году. Опираясь на доказанную им теорему трансверсальности и вычисление когомологий универсальных пространств Тома, он получил следующие результаты:
1) всякий класс гомологий с коэффициентами в $\mathbb Z_2$ может быть реализован образом гладкого многообразия;
2) для любого $n$ существует натуральное число $k(n)$ такое, что всякий $n$-мерный целочисленный класс гомологий может быть реализован образом ориентированного гладкого многообразия с кратностью $k(n)$; при этом $k(n)=1$ (все классы реализуются при $n<7$;
3) построил пример семимерного нереализуемого целочисленного класса гомологий.
Позже важные результаты по проблеме реализации циклов, Включая оценки для чисел $k(n)$, были получены С. П. Новиковым, В. М. Бухштабером и другими математиками.
В докладе будет рассказано о новом подходе к проблеме реализации циклов, основанном на явном комбинаторном построении реализующего многообразия $N$ для класса $qz$ (для некоторого натурального $q$) по сингулярному циклу, представляющему заданный целочисленный класс гомологий $z$. При этом искомое многообразие $N$ склеивается из специальных простых многогранников, называемых пермутоэдрами. Такая комбинаторная конструкция сразу даёт следующий результат: для каждой размерности $n$ существует одно ориентированное гладкое многообразие $M^n$ такое, что всякий $n$-мерный целочисленный класс гомологий любого топологического пространства может быть реализован с некоторой кратностью образом конечнолистного накрытия над многообразием $M^n$. В качестве многообразия $M^n$ выступает многообразие изоспектральных симметрических трёхдиагональных вещественных $(n+1)\times (n+1)$-матриц. К сожалению, при таком комбинаторном подходе не удаётся получить никаких разумных оценок на кратность $q$.