Исчисление Шуберта и многогранники Гельфанда–Цетлина

Исчисление Шуберта было разработано Шубертом в конце 19 века для решения задач исчислительной геометрии. Классический пример: сколько прямых в трехмерном пространстве пересекает 4 данные прямые? Ответ можно найти, пересекая циклы Шуберта на грассманиане $G(2,4)$ (многообразии плоскостей в $C^4$). В докладе будет рассказано о новом подходе к исчислению Шуберта на естественном обобщении грассманиана — многообразии полных флагов в $C^n$. При этом используется ключевая идея из торической геометрии (раздел алгебраической геометрии, созданный в 70-х годах прошлого века и изучающий торические многообразия): геометрию многообразия можно описать через комбинаторику выпуклого многогранника, связанного с многообразием.
Многообразие флагов не является торическим, но с ним тоже можно связать выпуклый многогранник — многогранник Гельфанда–Цетлина, построенный в середине прошлого века для нужд теории представлений. С каждым неприводимым представлением группы $GL_n(C)$ можно связать свой многогранник Гельфанда–Цетлина, так что целые точки внутри и на границе этого многогранника параметризуют естественный базис в пространстве представления. Оказывается, пересечение циклов Шуберта на многообразии полных флагов можно вычислять, просто пересекая грани многогранника Гельфанда–Цетлина. В докладе будет рассказано о недавних результатах докладчика в этом направлении, полученных совместно с Евгением Смирновым и Владленом Тимориным. В докладе будут даны необходимые определения, специальных знаний для понимания доклада не требуется.