Эквивалентность систем уравнений совместности в напряжениях в $R^n$

Путём приравнивания нулю всех компонент тензора несовместности Крёнера ранга $2n-4$ либо дуального к нему тензора Римана $R^{\{4\}}(\undertilde\varepsilon(x))$ выводятся $n^2(n^2-1)/12$ независимых уравнений совместности в напряжениях в $n$-мерной изотропной упругой среде:
$$ \gathered 2R_{rmst}\bigl(\undertilde\varepsilon(\undertilde \sigma(x))\bigr)=\sigma_{rs,mt}+\sigma_{mt,rs}-\sigma_{ms,rt}-\sigma_{rt,ms}+\qquad\qquad\\ \qquad\qquad\qquad\qquad+\frac\nu{1+\nu}(\Theta_{,rt}\delta_{ms}+\Theta_{,ms}\delta_{rt}-\Theta_{,mt}\delta_{rs}-\Theta_{,rs}\delta_{mt})=0, \endgathered \eqno (1) $$
где запятая в индексе означает частное дифференцирование по соответствующей координате, $\nu$ — коэффициент Пуассона, присутствующий в обратном законе Гука
$$ \varepsilon_{ij}=\frac 1E\bigl(-\nu\Theta\delta_{ij}+(1+\nu)\sigma_{ij}\bigr),\quad \Theta=\sigma_{kk}. \eqno (2) $$
По повторяющимся два раза индексам ведётся суммирование от $1$ до $n$.
Исследуется вопрос об эквивалентности системы (1) другим известным в теории упругости системам уравнений совместности в напряжениях, следующим только из равенства нулю всех $n(n+1)/2$ компонент тензора Риччи:
$$ \Delta\sigma_{ms}+\frac{1+(3-n)\nu}{1+\nu}\,\Theta_{,ms}-\frac\nu{1+\nu}\,\Delta\Theta\,\delta_{ms}-\sigma_{mr,rs}-\sigma_{sr,rm}=0 \eqno (3) $$
либо только одного инварианта кривизны:
$$ \Delta\Theta=\frac{1+\nu}{1+(2-n)\nu}\,\sigma_{mr,mr}. \eqno (4) $$
Показывается, что ответ на этот вопрос зависит от размерности пространства. Выделяются три случая: $n=2$ (плоская задача теории упругости), $n=3$ (пространственная задача теории упругости) и $n\ge 4$.