Неванлинновские области с большой границей

анлинновская область расширяет понятие квадратурной области, но как мы покажем далее расширяет его слишком сильно. Предыдущие результаты Федоровского, Баранова, Мазалова показывали, что существуют невалинновские области с негладкой, неспрямляемой границей и границей размерности больше 1. Мы докажем, что существуют неванлиновские области у которых размерность (по Хаусдорфу) множества доступных точек границы равна 2.
Похожая конструкция дает оптимальный рост длины границы и в другой известной задаче об однолистных (в единичном круге) ограниченных рациональных функциях степени $N$. Ранее было известно, что наибольшая длина границы образа при рациональном отображении степени $N$ не меньше чем $N^{0.23}$ и не больше чем $N^{0.5}$. Мы покажем, что верхняя оценка точна.
Доклад основан на совместной работе с А. Боричевым и К. Федоровским.