Фильтрация волатильности и мартингальные меры в экспоненциальных моделях Леви

Научный руководитель — к.ф.-м.н. А. С. Черный.
Доклад относится к финансовой математике, более точно, к теории арбитража. Приводятся следующие результаты:
1. Фундаментальная теорема теории арбитража для моделей с конечным или бесконечным временным горизонтом, в которых процесс дисконтированной цены имеет вид $S_t=e^{X_t}$ или $S_t=e^{(X\circ\tau)_t}$, где $X$ — процесс Леви, $\tau$ — независимый с $X$ неубывающий процесс, $(X\circ\tau)_t=X_{\tau_t}$. Рассматриваются два понятия арбитража: бесплатный ленч с исчезающим риском и обобщенный арбитраж.
2. Оценка волатильности в модели с заменой времени. Именно, в предположении, что $\tau_t=\int_0^t A_s\,ds$, а $X$ — составной пуассоновский процесс, находится формула для условного ожидания ${\mathsf E}(A_t\mid(X\circ\tau)_s,\ s\le t)$ в терминах распределения процесса $A$. Также приводится результат о компенсаторе процесса $X\circ\tau$.
3. Фундаментальная теорема теории арбитража для моделей дискретного времени с операционными издержками и классическим определением арбитража. Этот результат приводится в случае, когда на рынке имеется один актив и пространство элементарных исходов $\Omega$ не более чем счетно.