Cпектральная статистика редких случайных графов: функция Томэ и модулярные формы

Обсуждаются спектральные свойства сильно разреженных матриц смежности вблизи порога перколяции. В этом случае спектральная плотность ансамбля таких матриц может быть выражена через разрывную во всех рациональных точках функцию Томэ, полученную с помошью конструкции, известной как “сад Евклида”. Мы обсуждаем связь функции Томэ с теорией модулярных форм и предлагаем непрерывное приближение функции Томэ на основе эта-функции Дедекинда вблизи действительной оси. Мы предлагаем простые аргументы, которые демонстрируют наличие “хвоста Лифшица” вблизи границы спектра, типичного для одномерной локализации Андерсона.