Гладкие категорные компактификации и вырождение спектральной последовательности Ходж – де Рам

В этом докладе мы опровергнем две гипотезы Концевича, утверждающие обобщенную версию некоммутативного вырождение спектральной последовательности Ходжа – де Рама: для гладких и для компактных DG категорий (но не гладких компактных, в этом случае вырождение было доказано Калединым). В частности, мы покажем, что существует 8-мерная $A_{\infty}$-алгебра над полем характеристики 0, в которой суперслед $m_3$ по второму аргументу не равен 0.
Как следствие, мы получим отрицательный ответ на вопрос Тоена, а именно, приведем пример гомотопически конечной DG категории, не имеющей гладкой категорной компактификации (то есть ее нельзя представить как фактор гладкой компактной категории)