Аппроксимация $l^2$-чисел Бетти

Целью доклада будет введение $l^2$-чисел Бетти $\beta_j^{(2)}$ и изучение их аппроксимаций. Предположим $X$ - конечный симплициальный комплекс $G=\pi_1(X)$ и $Y$ - универсальное накрытие $X$ и задана цепочка нормальных подгрупп $G\supset G_1\supset G_2\supset ...$ в $G$, такая что $\cap G_i=1.$ Обозначим через $Y_i$ накрытие, соответствующее $G_i$, т.е. $Y_i$ это фактор $Y$ по действию $G_i$.
Возникает следующий открытый вопрос: Верно ли, что $\beta_j^{(2)}(Y_i,G_i)\rightarrow_{i\rightarrow\infty} \beta_j^{(2)}(Y,G)$ для каждого $j\in \mathbb{Z}_+$?
Имеется классический результат Вольфганга Люка.
Теорема 1
Ответ да если все группы $G/G_i$ финитно-аппроксимируемы.
Сам Люк доказал эту теорему в случае, когда $G/G_i$ конечны. Представленная выше версия теоремы была доказана в работе Jozef Dodziuk, Peter Linnell, Varghese Mathai, Thomas Schick and Stuart Yates: https://arxiv.org/pdf/math/0107049.pdf.
Данный результат соответствует следующей теореме, которую мы хотим разобрать.
Теорема 2
Пусть $T\in Mat(k;\mathbb{Z}[G])$, и пусть $T_i \in Mat(k;\mathbb{Z}[G/G_i])$, определенные по правилу $T_i = \pi_i(T),$ где $\pi_i: \mathbb{Z}[G] \rightarrow \mathbb{Z}[G/G_i]$ - естественные проекции. Если все группы $G/G_i$ финитно-аппроксимируемы, то мы имеем равенство
$$ dim_{vN} ker(T) = lim_i dim_{vN} ker(T_i).$$

Если останется время, постараемся рассказать о вариациях данного результата и гипотезах.