Многообразие изоспектральных эрмитовых матриц-стрелок

Доклад основан на совместной работе с В.М.Бухштабером.
Многообразие трехдиагональных эрмитовых $(n+1)\times(n+1)$-матриц с фиксированным простым спектром хорошо известно и играет важную роль в разных задачах математики. Это многообразие является $2n$-мерным квазиторическим: на нем действует компактный тор размерности $n$, а пространство орбит как многообразие с углами диффеоморфно знаменитому выпуклому многограннику - пермутоэдру.
В докладе будет рассмотрено пространство всех эрмитовых $(n+1)\times(n+1)$-матриц с фиксированным простым спектром и нулями на всех позициях кроме диагонали, первой строки и первого столбца (такие матрицы мы называем матрицами-стрелками). Это пространство является гладким $2n$-мерным многообразием (гладкий тип не зависит от выбора простого спектра).
На этом многообразии, как и в случае трехдиагональных матриц, имеется действие $n$-мерного тора, но пространство орбит не является многогранником. В докладе будут описаны комбинаторика и топология таких пространств орбит. Будет подробно рассмотрено многообразие $4\times 4$-матриц-стрелок с фиксированным простым спектром. Это многообразие имеет размерность $6$, а пространство орбит является полноторием. Граница пространства орбит представляет собой фактор плоскости графена по сдвигам, определяемым двумя хиральными векторами, т.е. граница является тором, разбитым на шестиугольники.
Техника, развитая ранее докладчиком, позволила вычислить кольцо когомологий и эквивариантных когомологий такого $6$-мерного многообразия.