Многомерные вычеты, формулы для коэффициента многочлена нескольких переменных и тождество Дайсона

Мы изучим тип формул, выражающих некоторый коэффициент многочлена от нескольких переменных через значения многочлена в точках некоторой решётки. Эта формула имеет элементарную интерпретацию (см. https://arxiv.org/abs/1005.1177), но также может рассматриваться как частный случай теоремы о многомерных вычетах (см. https://arxiv.org/abs/1503.08004).
Такие формулы имеют некоторые комбинаторные и геометрические следствия, которые мы обсудим, а также помогают доказать одну формулу Дайсона и её $q$-аналог (см. https://arxiv.org/abs/1211.6484)