О приближении тригонометрическими полиномами

Пусть множество $E$ состоит из конечного числа (может быть, одного) дизъюнктных отрезков вещественной оси. Предполагаем, что $E$ не пересекается со своими образами при сдвигах на целое кратное $2\pi$. В качестве примера $E$ можно рассматривать промежуток длины, меньшей $2\pi$. Для пространств Гёльдера, заданных на $E$, и подобных им пространств будет получено конструктивное описание этих пространств в терминах скорости приближения функций тригонометрическими полиномами. Если в качестве примера рассмотреть упомянутый выше отрезок $[0,a]$ с пространством Гёльдера $H^\alpha$ порядка $\alpha<1$, заданным на нем, то описание будет следующим: пусть $E_n$ –эллипс с фокусами в точках $a$ и $0$, проходящий через точку $-1/n^2$, $d_n(x)$ – расстояние от точки $x\in[0,a]$ до $E_n$. Тогда $f\in H^\alpha$ если и только если для любого $n$ найдется тригонометрический полином $T_n(x)$ порядка $\leq n$ такой, что $|f(x)-T_n(x)| \leq C_f (d_n(x))^\alpha$, $x\in[0,a]$. Доказательство использует аппроксимацию в комплексной области.