Гиперболический объем и теория Черна–Саймонса

Трехмерному многообразия, на котором существует полная метрика постоянной отрицательной кривизны, можно сопоставить три инварианта. По метрике строится форма объема, некоторый элемент в группе Блоха поля комплексных чисел и плоская связность в тривиальном главном $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$ расслоении. Оказывается, гиперболический объем может быть вычислен через последние два инварианта — как значение регулятора и функционала Черна–Саймонса соответственно. Это утверждение позволило Виттену свести (на физическом уровне строгости) гипотезу объема к утверждению о существовании некоторой связности.
В докладе я дам все определения и расскажу о связи между ними, следуя статье Ноймана. В конце, я постараюсь рассказать о гипотезе объема и идее Виттена.