|
|
Семинар отдела математической физики МИАН
28 декабря 2017 г. 11:00, г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)
|
|
|
|
|
|
Критерий существования граничных значений в $L_p$ решений эллиптического уравнения
А. К. Гущин Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 214 |
|
Аннотация:
Работа посвящена исследованию граничного поведения решений эллиптического уравнения второго порядка. Целью исследования является получение ответа на следующий вопрос. Каким условиям должно удовлетворять решение уравнения, чтобы оно было решением задачи Дирихле с некоторой граничной функцией из $L_p, p > 1$? Рассматривается однородное уравнение в самосопряженном виде без младших членов и устанавливается критерий существования граничного значения решения в $L_p$.
Истоки этой тематики лежат в классических результатах теории функций комплексного переменного и гармонического анализа, в частности, в известных работах Ф. Рисса, Литтлвуда и Пэли, Марцинкевича и Зигмунда. Эти теоремы были перенесены на гармонические функции в том числе и многих переменных и обобщены на решения эллиптического уравнения (не обязательно однородного) с переменными коэффициентами. Наиболее полные результаты в этом направлении были получены в “гильбертовом” случае $p=2$, в котором аналоги теоремы Ф. Рисса и теоремы Литтлвуда и Пэли были доказаны при тех же условиях на коэффициенты уравнения, при которых установлена однозначная разрешимость задачи Дирихле. Общий случай $p>1$, исследованию которого посвящена настоящая работа, является существенно более сложным. Вызвано это, в частности, тем обстоятельством, что без условий типа гладкости (например, условия непрерывности) коэффициентов при $p \neq 2$ нельзя рассматривать решение из $W^1_\mathrm{p,loc}$. Кроме того, для удовлетворяющего условиям доказанного критерия решения уравнения справедливы взаимные оценки некасательной максимальной функции и аналога интеграла площадей Лузина. При этом такое решение принадлежит пространству $(n-1)$-мерно непрерывных функций; тем самым граничное значение принимается в значительно более сильном смысле.
|
|