Симметрийный метод в геометрической теории управления и римановы задачи на группах собственных движений сферы и плоскости Лобачевского

Принцип максимума Понтрягина дает необходимое условие оптимальности в задачах оптимального управления. Для левоинвариантных задач на группах Ли гамильтонова система ПМП становится треугольной, т.е. сопряженная подсистема становится независимой от переменных состояния. При исследовании экстремальных кривых на глобальную оптимальность ключевую роль играют симметрии задачи, индуцированные симметриями сопряженной подсистемы. Получены общие условия для продолжения симметрий сопряженной подсистемы до симметрий экспоненциального отображения (отображения в конец экстремальной траектории).
Этот метод применен для решения серии осесимметричных левоинвариантных римановых задач на группах собственных движений сферы и плоскости Лобачевского ($SO(3)$ и $PSL(2)$, соответственно). Это означает, что ставится задача описания кратчайших на этих группах с левоинвариантной римановой метрикой, имеющей собственные значения $I_1 = I_2$, $I_3 > 0$. Описание кратчайших эквивалентно параметризации геодезических и указанию времени разреза (времени потери оптимальности). Получена параметризация геодезических. Найдено время разреза и множество разреза. Субримановы задачи включаются в эту серию как предельный случай римановых. Найдены диаметры и радиусы инъективности таких метрик.
Аналогичные результаты получены для двулистных накрытий рассматриваемых групп, т.е. для $SU(2)$ (сферы Берже) и $SL(2)$.