О рациональности гладких расслоений на поверхности дель Пеццо степени 4

Известна следующая теорема, принадлежащая Алексееву.
Пусть V — стандартное расслоение на поверхности дель Пеццо степени 4 над $P^1$. Если топологическая эйлерова характеристика $V$ не равна $0$, $-8$, $-4$, то $V$ не рационально. Если она равна $0$ или $8$, то $V$ рационально. Наконец, если она равна $-4$, то многообразие $V$ рационально тогда и только тогда, когда его промежуточный якобиан является якобианом кривой.
Цель доклада — доказать следующее уточнение этой теоремы.
Всякое стандартное расслоение на поверхности дель Пеццо степени 4 над $P^1$ с топологической эйлеровой характеристикой $-4$ рационально.