Ортогональные по Соболеву системы функций и задача Коши для ОДУ

Рассмотрены системы функций ${\cal \varphi}_{r,n}(x)$ $(r=1,2,\ldots, n=0,1,\ldots)$, ортонормированные по Соболеву относительно скалярного произведения вида
$$\langle f,g\rangle=\sum_{\nu=0}^{r-1}f^{(\nu)}(a)g^{(\nu)}(a)+\int_{a}^{b}f^{(r)}(x)g^{(r)}(x)\rho(x)dx,$$
порожденные заданной ортонормированной системой функций ${\cal \varphi}_{n}(x)$ $( n=0,1,\ldots)$.
Показано, что ряды и суммы Фурье по системе ${\cal \varphi}_{r,n}(x)$ $(r=1,2,\ldots, n=0,1,\ldots)$ являются удобным инструментом приближенного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Исследованы некоторые вопросы сходимости рядов Фурье по функциям, ортогональным по Соболеву.