Сходимость сферических средних для действий фуксовых групп

Пусть $G$ — группа, $O$ — конечный симметричный набор образующих в ней. Тогда на группе задана норма — длина кратчайшего слова из образующих, представляющего данный элемент группы. Если $G$ действует сохраняющими меру преобразованиями на вероятностном пространстве $(X,\mu)$, для функций $f\in L^1(X,\mu)$ определены сферические средние $S_n(f)$, равные среднему арифметическому композиций $f$ со всеми преобразованиями, отвечающими элементам группы с нормой, равной $n$.
Известны два класса аналогов эргодической теоремы для действий групп, «похожих на свободную». Первый относится к сходимости усреднений по Чезаро последовательности сферических средних. Здесь получены (в работах Григорчука; Нево и Штейна; Буфетова; Буфетова, Клименко и Христофорова) результаты в весьма широкой общности — для всех так называемых марковских групп, причём элементам группы можно придавать различные веса, задаваемые марковской цепью.
Результаты о сходимости самих сферических средних значительно слабее, особенно в случае сходимости почти всюду. Ключевую роль в них играет наличие инволюции в пространстве состояний марковской цепи, задающей группу $G$, которая переводит марковскую цепь в ту же цепь с обращённым временем. В частности, Буфетовым была получена поточечная сходимость для действий свободной группы.
В докладе будет объяснён новый результат (совм. с. А.И. Буфетовым и К. Сириес), утверждающий поточечную сходимость сферических средних для действий широкого класса фуксовых групп, удовлетворяющих некоторому условию.