Семейства алгебраических многообразий и башни кривых над конечными полями

Башня кривых — это последовательность кривых $C_n$ и конечных отображений $C_n\to C_{n-1}$, при этом род $C_n$ стремится к бесконечности. Я расскажу про новую конструкцию башен алгебраических кривых над конечными полями. Пусть дано семейство $X\to C$ алгебраических многообразий над кривой $C$. Предположим, что семейство является гладким над открытым подмножеством $U$. Тогда $i$-й высший этальный прямой образ постоянного пучка $Z/\ell^n Z$ соотвествует локальной системе на $U$. Можно определить послойную “проективизацию” этой локальной системы, которая будет схемой $U_n$, конечной над $U$. Если выполняются некоторые технические условия на семейство $X\to C$, эта схема будет геометрически неприводимой кривой. Определим C_n как гладкую проективную кривую, содержащую U_n. Я приведу примеры, когда кривые $C_n$ образуют интересные башни. Проективное многообразие с дискретной бесконечно порождённой группой автоморфизмов.