О периодических орбитах в комплексных бильярдах

Гипотеза В.Я.Иврия (1980) утверждает, что в любом бильярде с гладкой границей множество периодических орбит имеет меру нуль. Эта гипотеза тесно связана со спектральной теорией. Ее частный случай для треугольных орбит был доказан М.Рыхликом (1989 г, в размерности два) и Я.Б.Воробцом (1994 г., в любой размерности) и другими математиками. Случай четырехугольных орбит в размерности два был разобран в совместной работе Ю.Г.Кудряшова и докладчика (2012 г.) Будет рассказано о недавних работах докладчика о комплексной версии гипотезы Иврия, с отражениями относительно голоморфных кривых на комплексной проективной плоскости. Получена полная комплексификация четырехударных комплексных контрпримеров: четверок голоморфных кривых, таких что соответствующий комплексный бильярд имеет двухпараметрическое семейство четырехугольных орбит. Этот результат имеет применения к другим родственным задачам о вещественных бильярдах. А именно, доказана двумерная гипотеза С.Л.Табачникова, утверждающая, что если два вложенных выпуклых бильярда на плоскости порождают коммутирующие бильярдные преобразования пространства ориентированных прямых, то это — софокусные эллипсы. А также доказан четырехударный плоский частный случай гипотезы А.Ю.Плахова о невидимости.