Поперечники по Громову шаров пространств постоянной кривизны

Теорема Борсука-Улама в одном из вариантов утверждает, что нечётное непрерывное отображение n-мерной сферы в n-мерное евклидово пространство отправляет в нуль две противоположные точки сферы. Несложная надстройка над этой теоремой показывает, что нечётное непрерывное отображение n-мерной сферы в m-мерное евклидово пространство (при m<n) отправляет в нуль некоторое множество, чья (n-m)-мерная мера (в некотором смысле) не меньше, чем мера (n-m)-мерной сферы. Громов в 2003 году доказал, что если в предыдущей формулировке отображение просто непрерывное, но необязательно нечётное, то оно отправляет в одну и ту же точку некоторое множество F, чья (n-m)-мерная мера (в некотором смысле) не меньше, чем мера (n-m)-мерной сферы. На самом деле Громов доказал больше: что всякая метрическая t-окрестность F на n-сфере не меньше по объёму, чем t-окрестность стандартно вложенной в неё (n-m)-сферы. Мы обсудим несколько более слабые варианты теоремы Громова о поперечнике для шаров в пространствах постоянной или ограниченной сверху кривизны.