Сложность однородных пространств над алгебраически незамкнутым полем

В 1986 Э. Б. Винбергом было введено понятие сложности алгебраического многообразия, снабжённого действием редуктивной группы $G$, над алгебраически замкнутым полем. А именно, это степень трансцендентности над полем определения подалгебры инвариантов относительно борелевской подгруппы $B$ (максимальной разрешимой связной подгруппы в $G$) в алгебре рациональных функций на многообразии. Это число также равно размерности семейства $B$-орбит общего положения в рассматриваемом многообразии. С помощью конструкции орисферического стягивания Э. Б. Винбергом было показано, что при переходе к $B$-инвариантному многообразию сложность не может возрастать. Позднее Ф. Кнопом в 1995 было дано другое доказательство этого факта, основанное на разнесении $B$-орбит с помощью минимальных параболических подгрупп. В докладе мы обсудим возможные обобщения указанных результатов для алгебраически незамкнутых полей. Отметим, что в случае алгебраически незамкнутых полей борелевские подгруппы уже могут быть не определены над основным полем и их роль играют минимальные параболические подгруппы. Для этих подгрупп также можно рассматривать понятие сложности. В докладе мы расскажем об аналоге теоремы о конечности орбит борелевской подгруппы на сферическом многообразии, а также об аналоге теоремы Винберга о сложности для случая локально-компактных полей (в том числе для поля вещественных чисел). Отметим, что доказательства указанных результатов, полученные докладчиком, также используют идеи работы Кнопа 1995 года и недавней работы Кнопа и Крётца 2016 года.