Топология фазовых кривых аналитических векторных полей в $\mathbb C^2$. Свойство Купки–Смейла

Хорошо известно, что фазовая кривая вещественного векторного поля гомеоморфна точке, прямой или окружности. Для векторного поля с комплексным времен фазовая кривая — риманова поверхность, фундаментальная группа которой может, вообще говоря, иметь любое число образующих. Таким образом, естественным является вопрос: каков топологический тип фазовой кривой типичного векторного поля. В докладе будут рассмотрены векторные поля следующего вида:
\begin{equation} \frac{dx}{dy}=\frac{f(x,y)}{g(x,y)}, \tag{1} \end{equation}
где $f(x,y)$, $g(x,y)$ — целые в $\mathbb C^2$ функции. Типичным будем считать векторное поле, принадлежащее остаточному множеству в пространстве векторных полей (1) с топологией равномерной сходимости на компактах.
Будут доказаны следующие результаты:
Теорема 1. Типичное векторное поле (1) задает слоения, все листы которого, за исключением не более чем счетного числа, топологические диски, оставшиеся листы — цилиндры.
Теорема 2. Типичное векторное поле (1) обладает свойством Купки–Смейла.
Основной инструмент доказательства — аппроксимационная техника, а именно теоремы Вермера и Штольценберга о приближении непрерывных функций целыми на кривых, вложенных в $\mathbb C^n$.