Разрывные градиентные динамические системы и траектории вариационных задач

Теоремы существования и единственности решения, вообще говоря, не справедливы для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Однако траектории дифференциального уравнения $dx/dt=–\mathrm{sign}(x)$ все-таки удовлетворяют этим теоремам при возрастании времени. А именно, в каждой точке начинается одна и только одна траектория, но заканчиваться может и больше. Кроме того, эта траектория непрерывно зависит от начальной точки. Правда, она может иметь излом, поэтому требуется уточнить, в каком смысле это решение дифференциального уравнения. Ответ прост: вместо обычной производной по времени надо рассматривать одностороннюю справа, что тоже согласуется с идеей возрастания времени — его приращение должно быть положительным. Иными словами, внешние условия, описываемые правой частью дифференциального уравнения, влияют только на будущее, а отнюдь не на прошлое.
Похожим образом устроены русла рек — у них есть много притоков, но, как правило, нет рукавов (раздвоений).
Описанные явления объясняются следующей несложной, но, как это ни странно, вроде бы новой теоремой. А именно, траектории градиентной динамической системы в евклидовом пространстве с вогнутым потенциалом удовлетворяют теоремам существования, единственности и непрерывной зависимости от начального условия при возрастании времени.
Эту теорему мы применяем для построения траекторий классической вариационной задачи о минимуме механического действия. Например, в асимптотиках уравнения Бюргерса с исчезающей вязкостью с течением времени все больше и больше частиц попадают в разрывы поля скоростей, называемые также ударными волнами. Согласно нашим результатам, движение частиц внутри ударных волн корректно определено, и для него справедливы теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начального условия. Более того, совершенно неожиданно оказалось, что точки с положительной массой не всегда находятся в узлах системы ударных волн, а также могут свободно двигаться от узла к узлу.