Вероятность поглощения для гауссовского политопа и правильные сферические симплексы

Гауссовский политоп $\mathcal P_{n,d}$ – это выпуклая оболочка $n$ независимых стандартных нормальных векторов в $\mathbb R^d$. Мы в явном виде вычислим вероятность того, что $\mathcal P_{n,d}$ содержит произвольную фиксированную точку $x\in\mathbb R^d$. В качестве следствия, мы выведем формулу для среднего числа $k$-граней $\mathcal P_{n,d}$, которая была получена ранее Аффентрангером и Шнайдером. Все формулы даны в терминах объемов правильных сферических симплексов, которые, в свою очередь, выражаются через функцию стандартного нормального распределения $\Phi(x)$ и ее комплексный аналог $\Phi(ix)$.
Доклад основан на совместной работе с Захаром Каблучко: https://arxiv.org/abs/1704.04968