Языки Арнольда в модели эффекта Джозефсона и голоморфные решения уравнения Гойна

Рассматривается семейство динамических систем на торе, моделирующее эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости. В этом случае классическое число вращения системы на торе отождествляется со средним значением напряжения за длинный интервал времени. Языком Арнольда уровня $n$ ($n$-й зоной захвата фазы в эффекте Джозефсона) называется множество параметров с непустой внутренностью, на котором число вращения принимает значение $n$. Для рассматриваемого семейства динамических систем, в отличие от открытой В.И. Арнольдом картины языков, зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения (замечено и доказано В.М. Бухштабером, О.В. Карповым и С.И. Тертычным и чуть позднее доказано Ю.С. Ильяшенко). Более того, каждая зона захвата представляет собой бесконечную цепочку областей на плоскости, разделенных перемычками. Эта цепочка уходит на бесконечность. Границы её имеют бесселеву асимптотику (замечено физиками С. Шапиро, А. Янусом и С. Холли (1964 г.) и недавно доказано А.В. Клименко и О.Л. Ромаскевич). Рассматриваемое семейство систем на торе эквивалентно семейству биконфлюэнтных уравнений Гойна (доказано В.М. Бухштабером и С.И. Тертычным), представляющему собой семейство линейных дифференциальных уравнений, имеющих на сфере Римана только две особые точки, которые иррегулярны.
В докладе будет сделан обзор открытых вопросов и результатов о геометрии зон захвата, полученных комплексными методами. В частности, об описании координат перемычек, по работам В.М. Бухштабера, С.И. Тертычного, В.А. Клепцына, Д.А. Филимонова, И.В. Щурова и докладчика. С акцентом на недавнюю совместную работу В.М. Бухштабера и докладчика, доказывающую гипотезу Бухштабера–Тертычного о частичном описании ординат перемычек. Недавно полученное короткое доказательство использует идеи из гиперболической теории динамических систем.