Косы, группы $G_{n}^{k}$, проблемы тождества и сопряженности, пермутоэдры и фундаментальные группы конфигурационных пространств

В 2015 году автор ввел группы $G_{n}^{k}$, позволяющие строить различные инварианты динамических систем движения точек и выдвинул общий принцип:
Если для динамик движения $n$ точек имеется хорошее свойство коразмерности один, регулируемое $k$ точками, то такие динамики допускают естественный топологический инвариант со значениями в группах $G_{n}^{k}$. Простейшими примерами являются гомоморфизмы из группы кос из $n$ нитей в группы $G_{n}^{3}$ и $G_{n}^{4}$, отвечающие свойствам: «три точки лежат на одной прямой» и «четыре точки лежат на одной окружности или прямой». Возникают естественные вопросы о мономорфности и эпиморфности таких отображений, в частности, о построении таких конфигурационных пространств, для которых группа $G_{n}^{k}$ изоморфна фундаментальной группе.
Этот вопрос решается положительно в случае $G_{k+1}^{k}$. В частности, в явном виде строится задание группы $G_{4}^{3}$ косами на проективной плоскости. Это приводит к естественной нормальной форме для элементов из $G_{4}^{3}$ и сводит проблему сопряженности в $G_{4}^{3}$ к задаче из маломерной топологии.
Будет обсуждаться также возможность построения нормальной формы для групп $G_{5}^{4}$, $G_{6}^{5}$ и т.д.
Пермутоэдр — многогранник, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с перестановками из $n$ элементов. Эти перестановки можно естественным образом понимать как элементы группы $G_{n}^{2}$, возникающие при динамике движения точек по прямой. Таким образом, однако, возникают не все элементы группы $G_{n}^{2}$. Задача о линейных представлениях групп $G_{n}^{2}$ тесным образом связана с задачами о склейках пермутоэдров. Простейший случай — $G_{3}^{2}$ — отвечает укладке плоскости шестиугольниками: вершины шестиугольников отвечают группе $G_{3}^{2}$.
Будет приведено множество нерешенных задач и тем для исследования.
Также мы затронем тему «одномерных узлов в многомерных пространствах» — узлового аналога групп $G_{n}^{k}$.