Специальная бор–зоммерфельдова геометрия римановых поверхностей

Наш главный интерес — исследования лагранжевой геометрии алгебраических многообразий. А именно, по самому своему определению алгебраическое многообразие обладает кэлеровыми метриками ходжева типа, и если рассмотреть соответствующие кэлеровы формы как симплектические, то можно определить лагранжевы подмногообразия относительно каждой из симплектических форм. При этом оказывается возможным построить конечномерные многообразия модулей специальных бор–зоммерфельдовых лагранжевых подмногообразий для каждого класса кэлеровых метрик.
Мы обсудим определение специальных бор–зоммерфельдовых лагранжевых подмногообразий в общем случае и рассмотрим в качестве конкретного примера случай алгебраической кривой рода $g>1$. Геометрически это многообразие можно представить так: риманова поверхность $\Sigma_g$ и некоторая комплексная структура $I$ на ней. Тогда на касательном расслоении $T\Sigma_g$ имеется единственная с точностью до константы метрика $G$, согласованная с $I$ и имеющая в каждой точке постоянную отрицательную кривизну. Тогда соответствующая форма $\Omega$ может быть отнормирована так что $\int_{\Sigma} \Omega = 2g-2$; отсюда по $I$ единственным образом восстанавливается тройка $(I, G, \Omega)$, что дает эрмитову структуру на касательном расслоении $T \Sigma$, а значит и на кокасательном. Для этого случая мы рассмотрим, как устроены специальные бор–зоммерфельдовы подмногообразия.