О двух задачах дизайна бильярдных потоков

Будет рассказано о двух задачах.
1. Рассмотрим два одинаково ориентированных параллельных пучка лучей в $n$-мерном евклидовом пространстве. Пусть имеется диффеоморфизм, отображающий лучи первого пучка в лучи второго пучка. Наш вопрос состоит в следующем. Можно ли реализовать этот диффеоморфизм с помощью отражения от нескольких зеркал? Доказано, что двух зеркал хватит, если диффеоморфизм является градиентом функции. Случай произвольного диффеоморфизма можно свести к указанному выше градиентному.
2. Рассмотрим плоский бильярд локально около периодической орбиты периода 2. Может ли так случиться, что соответствующая бильярдная динамика локально линейна не только инфинитезимально, но и в некоторой окрестности? Будет рассказано об имеющихся к настоящему моменту аналитических и численных результатах.