Асимптотический анализ уравнений для моментов численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании при отказе от конечности дисперсии скачков

Мы рассматриваем непрерывное по времени симметричное ветвящееся случайное блуждание по многомерной решетке. Ветвящиеся случайные блуждания принято описывать в терминах размножения, гибели и блуждания частиц, что облегчает возможность их применения в статистической физике (Я. Зельдович с соавт.), теории гомополимеров (Р. Кармона с соавт.) и популяционной динамике (C. Молчанов и Дж. Витмайер). Детальное описание таких процессов с конечным числом источником размножения и гибели частиц, расположенных в точках решетки, для конечной дисперсии скачков случайного блуждания, можно найти, напр., в публикациях Е. Яровой. В настоящей работе на интенсивности случайного блуждания, лежащего в основе процесса, накладывается условие, приводящее к бесконечной дисперсии скачков случайного блуждания. Исследованием случайных блужданий с бесконечной диспресией скачков занимались многие авторы, см., напр., книгу А. Боровкова и К. Боровкова, а также библиографию в ней. Доказательство глобальных предельных теорем для переходных вероятностей однородного по пространству симметричного неприводимого случайного блуждания с бесконечной дисперсией скачков при согласованном стремлении к бесконечности временной и пространственной переменных получено A. Абгором, C. Молчановым и Б. Вайнбергом. Соответствующее доказательство проводилось при некотором дополнительном условии регулярности, накладываемом на переходные интенсивности случайного блуждания. Авторами доклада доказан аналог известной леммы Ватсона в многомерном случае, с помощью которого установлено асимптотическое поведение переходных вероятностей при фиксированных пространственных координатах без наложения каких-либо дополнительных условий на переходные интенсивности. Отказ от конечности дисперсии приводит к изменению свойств случайного блуждания, которое становится невозвратным даже на одно- и двумерной решетке. Мы применяем полученные результаты для установления асимптотики моментов численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании с бесконечной дисперсией скачков. Для достижения этой цели по схеме, предложенной для ветвящегося случайного блуждания с конечной дисперсией скачков, получены производящие функции, дифференциальные и интегральные уравнения для моментов численностей частиц, как в произвольном узле, так и на всей решетке, в случае бесконечной дисперсии. На их основе доказаны утверждения об асимптотическом поведении моментов численностей частиц.
Исследование поддержано РФФИ, проект № 17-01-00468.