О двумерном обобщении теоремы Семереди

Знаменитая теорема Е. Семереди об арифметических прогрессиях утверждает, что любое подмножество целых чисел, имеющее положительную плотность, содержит арифметические прогрессии любой длины. Обобщения и усиления теоремы Семереди были получены в работах К. Ф. Рота, Х. Фюрстенберга, Д. Р. Хиф-Брауна, Ж. Бургена, В. Т. Гауэрса, Б. Грина и Т. Тао. Отвечая на вопрос филдсовского лауреата Гауэрса, мы доказываем следующий количественный вариант двумерной теоремы Семереди: любое подмножество $\{1,2,\dots,N}^2$ мощности $N^2/(\log\log N)^c$ содержит тройку вида $(x,y)$, $(x+d,y)$, $(x,y+d)$, где $d>0$.